Orologi con terne di singole cifre (n-ternologi): il 2, il 3, il 4 e il 9

Nello spirito dell'attuale clima vacanziero, negli ultimi giorni ho avuto una discussione socialmediatica, innescata dall'amico Roberto, sul famoso orologio basato sulla sola cifra del 9. Alla fine la discussione ha prodotto interessanti e divertenti osservazioni che riporto di seguito.

La prima osservazione è stata quella sull'inesattezza del fattoriale dentro la radice invece che fuori per l'ora quinta.
Qualcuno poi ha creduto di aver trovato un'altra inesattezza in quanto "0,999... non sarà mai 1". Invece, dovrebbe essere assodato che 1 e 0,9 periodico siano due diverse rappresentazioni dello stesso numero. Chi non è convinto provi a guardare 0,999...
Gianni Amati ha quindi commentato: Esistono un paio di imprecisioni se così possiamo definirle per un gioco. A parte il fattoriale fuori radice, la regola seguita non scritta è che si vogliono rappresentare i numeri tra 1 e 12 utilizzando esattamente tre volte una sola cifra tra 1 e 9 (in questo caso specifico la cifra 9), e qualsiasi simbolo matematico come operatore o come simbolo di rappresentazione numerica. Questo spiega 3 rappresentato come radice di 9 -9+9 e non come più semplicemente radice di 9 o radice nona della potenza nona di 9 per rappresentare 9. Purtroppo per rappresentare 1 non si è utilizzato tre volte il 9 ma solo due volte, cioè 9/9. Qui avrebbe dovuto rappresentarlo come 1-1+1, usando 1 come .9 periodico. Domanda: se invece del 9 avessimo usato un'altra cifra, ad esempio 4, saremmo stati in grado di ottenere lo stesso orologio seguendo la stessa regola?
A questo punto mi sono messo a cercare le relazioni e, con l'aiuto di Gianni per il 7, il 9 e l'11 ho prodotto il 4-ternologio.

Mi sono quindi posto le seguenti domanda: Ma il gioco riuscirà anche con cifre che non siano rappresentazioni decimali di quadrati? E si potrà trovare una regola generale?
E, in seguito a questa domanda, Gianni ha prodotto le seguenti regole generali: 1 2 5 10 e 11 sono sempre rappresentabili nella stessa forma per qualunque cifra x nel seguente modo.

1 = √x×√x/x
2 = (x+ x)/ x
5 = x/(.x+.x)
10 = √x×√x/.x
11=xx/x
La prima perché 1 elemento neutro rispetto al prodotto. La seconda per la proprietà associativa della somma. La terza anche e per la rappresentazione decimale. La quarta per la proprietà associativa del prodotto e per la rappresentazione decimale. La quinta per i criteri di divisibilità di un intero per 11.
E allora ho ridisegnato il 4-ternologio sostituendo le cifre delle regole generali.

Poi Gianni è riuscito anche a rispondere alla domanda se ci si può riuscire anche con cifre che non siano rappresentazioni decimali di quadrati producendo le formule per il 3-ternologio.

Ci si è cimentati anche con il 2-ternologio arrivando alla conclusione che mancano il 7 e 9. Possiamo quindi formulare la congettura che sia impossibile creare un 2-ternologio. E per gli altri?
Se qualcuno si cimenterà nella produzione di altri n-ternologi o di qualche altra regola ternologica, ci faccia sapere.

Nota post-pubblicazione: Gianni ci fa sapere che anche il 9 si può scrivere con una qualsiasi cifra x come (x-.x)/.x, quindi anche il 3 come sua radice  e quindi anche il 6 come 3!
Ecco quindi la nuova lista da cui mancano ancora 4, 7, 8 e 12:

1 = √x×√x/x
2 = (x+ x)/ x
3 = √((x-.x)/.x)
4 = ?
5 = x/(.x+.x)
6 = (√((x-.x)/.x))!
7 = ?
8 = ?
9 = (x-.x)/.x
10 = √x×√x/.x
11=xx/x
12 = ?

Per il 2-ternologio manca quindi solo il 7. E alla fine una formula per il 7 sono riuscito a trovarla ma solo con l'utilizzo della parte intera: [cot 2]/(2x2)

Con la parte intera però si bara un po' perché tutto diventa molto più semplice. Qualcuno riesce a trovare una 2-ternoformula per il 7 senza usare la parte intera? Se non la si trova, visto che i casi sono finiti, ci si potrebbe cimentare nella dimostrazione dell'impossibilità di trovare il 7 per il 2-ternologio.

Quando i teologi si cimentano con la Logica Matematica

Ho appena letto Sandro Magister arruola Kurt Gödel di .mau. e lo volevo segnalare agli appassionati di logica e/o religione.
Per i curiosi non appassionati riporto questa citazione.

... penso converrete tutti che la moltiplicazione dei pani e dei pesci e il dogma della Trinità non valgono come “proprietà aritmetica di base”, il che significa che il teorema non può semplicemente essere applicato. Quanto al resto, mi sta anche bene che l’intelletto umano possa, voglia e debba uscire dalla natura per trovare le ragioni ultime che cerca nella soprannatura: ma di nuovo tutto questo non vuol dire che Gödel dovette uscire da un sistema logico coerente per dimostrare almeno una proposizione elaborata in quello stesso sistema logico. Gödel non è uscito da nessuna parte né ha “dimostrato” nulla, al più affermava che occorreva aggiungere la proposizione come assioma.